片持ち梁の空間的に不確実な剛性の特定 - 石家荘市イルラーゴデイチーニ有限公司

Scientific Reports volume 13、記事番号: 1169 (2023) この記事を引用

599 アクセス

1 オルトメトリック

メトリクスの詳細

この研究では、構造応答のノイズを含むシミュレーション測定から、非破壊的な方法で不均一な剛性を特定します。有限要素法は、片持ち梁の例の問題、静的荷重および固有値解析のそれぞれに対する離散化として機能します。 Karhunen-Loève 展開は剛性ランダム場を表します。カルーネン・レーヴ係数に対するベイズ推論を使用して逆問題を解き、これにより新しい共振周波数法を導入します。構造剛性の不確実性と測定ノイズ特性の両方を柔軟に記述できるため、測定セットアップやさまざまな不均質材料に簡単に適用できます。さまざまな剛性共分散関数の反転パフォーマンスを評価すると、静的解析手順が平均的な意味で固有値解析手順よりも優れていることがわかります。ただし、静的解析アプローチの場合、解の品質はビーム内の位置に依存しますが、モーダル解析では信頼区間の高さはビームに沿って一定のままです。信号対雑音比の影響を調査すると、理想的な境界条件を備えた選択された構成では、静的荷重手順の方が動的手順よりも誤差が少ないことがわかります。

材料パラメータはさまざまな方法で特定できます。確立された方法は、破壊的方法と非破壊的方法に分類できます1。「破壊的」とは、たとえば引張試験中に測定試験片が塑性変形を起こし、試験後に製品要件を満たさなくなる、つまり本来の目的を果たせなくなることを意味します。多くの場合、これらのテストは試験片が破損するまで実行されます。非破壊検査法は、試験片の特性を維持したまま材料パラメータを特定する方法を提供します。したがって、これらの方法は、特定の要件を確保するための製造プロセス後の品質管理の目的で一般的です。

一方で、エンジニアリング材料のテストには動的手法が一般的です。弾性波を使用した衝撃エコーまたは伝達測定は、波の始まりを評価する一般的な高周波領域手法を提供します2。ただし、誘導超音波の個々のモードを考慮すると、より多くの情報が含まれます3、4、5。一般に、高周波領域における波形フィッティング手法は進化し続けており 6、完全な波形の利用は注目に値します 7。より低い周波数領域では、定在波を利用できます。この場合、共振周波数法では、材料パラメータの特定または欠陥検出のために固有モードに関連付けられた固有周波数が使用されます8。

一方、静的方法は、可逆的であり、試験片を線形弾性荷重条件に置く場合、非破壊的であるとみなされる場合があります。多くの変位測定技術と同様に、押し込み試験とひずみゲージを使用したひずみ測定は、表面レベルで動作する手順で使用されます。後者では、基準状態と試料の変形状態との間のデジタル画像相関により変位場9が生じ、それぞれの画像を取得するためにいくつかの技術を使用することができる10。

欠陥や亀裂のような不連続性は、通常、名目上均質な材料の場合に注目される量です11。不均質な材料では、材料特性の局所的な空間変動がシステムにさらに導入されます12。不均一性の重大度によっては、システムの応答に関連する影響が及ぶ可能性があります。これは確かに木材などのエンジニアリング材料に当てはまります。材料特性の空間的変化は、個々の試験片について定量化されています13、14。 Savvas et al.15 は、マイクロスケールの情報が与えられた場合に、材料特性のメソスケールの空間変動を特定しています。しかし、空間的挙動の厳密な説明はすぐには入手できません。このようなデータ不足を考慮すると、標準的な手順では、材料特性のランダムな空間変動を仮定することになります。この材料特性の空間的ランダム性は、文献で広く扱われているランダム場の理論で説明できます16、17。 Rasmussen と Williams18 はこの回帰理論を普及させ、Duvenaud 19 によって一般化されました。空間不確実性と有限要素法 (FEM) の統合については、文献 20、21 で説明されています。

したがって、空間的不確実性は、確立された不確実性の定量化手法と互換性があります22。 Sepahvand と Marburg23 は、材料特性をランダムフィールドとして表すことにより、構造力学における不確実性の前方伝播についてこれを実証しています。

システム入力に対するシステム出力の感度についての知識は貴重です。しかし、多くの非破壊検査方法には、例えば Gokhale らによる弾性イメージングに関する研究のように、逆の問題が伴います 24。測定パラメータと同様に対象となる量には不確実性が含まれるため、前述の逆問題を解決するための自然なアプローチはベイズ推論にあります 25、26、27。

ベイジアンフレームワークを使用したパラメーターの特定には、他の方法に比べて 2 つの大きな利点があります。第一に、パラメーターに関する限られたテストデータが存在する場合、ベイジアン手法は不確実性を定量化するための最適なツールを提供します28。これは、工学分野で高価な実験を扱う場合に非常に重要です。このような状況に古典的な頻度主義統計モデルを使用すると、データポイントの数が特定の数 (ほとんどの場合は 30) より大きい場合、またはデータが厳密に正規分布に従う場合にのみ、信頼できる結果が得られます29。これらの基準が満たされない場合、これらの方法で生成された結果は有効であると信頼できないか、不確実性のレベルが高くなります。

第 2 に、ベイジアンフレームワークには、統計モデルが考慮するパラメータに関する利用可能な事前情報が含まれます 30。この事前情報は、観測から得られた情報によって更新されます。利用可能な事前情報源には、一次データ、文献、オンラインデータベース、さらには専門家の知識が含まれる場合があります。これは、データが不足している可能性があるものの、パラメーターに関する専門知識が豊富なエンジニアリングアプリケーションでベイジアン手法を使用するための重要な議論です。

Marzouk と Najm31 は、カルーネン・レーヴ (KL) 展開によって達成される次元削減を介して、空間的に変化する関心量へのベイズ推論の適用の先駆者です。彼らは、一般化多項式カオス (gPC) に基づく計算コストを削減するために、順モデルのサロゲートを使用します21。計算領域の空間離散化をランダムな次元から切り離すことで、より大規模なシステムを伴う逆問題にアクセスできるようになります。

Sun と You32 は、非破壊検査の文脈におけるモーダル解析に関連する感度と損傷の特徴の概要を提供します。 Cugnoni et al.33 は、固有振動数とモード形状の組み合わせ情報を使用して、複合プレート材料モデルの決定論的な同定を実行しています。 Sepahvand と Marburg34,35 は、実験データを使用して不確実性を考慮しながら、複合プレートの均一な弾性パラメータを計算しています。最尤推定を使用して周波数応答測定から不均一ビーム剛性を計算する Desceliers らによる貢献に注目してください 36。 Batou と Soize37 は、モデル次数削減と周波数応答関数が与えられた最尤推定を使用するランダムフィールド材料モデルを検討しています。 Mehrez et al.38 は、一連のノードで取得された周波数応答関数を使用して、ベイジアン推論と gPC を使用して、一連のノードにおける複合構造のヤング率を推定しています。 Debruyne et al.39 は、この一般的な手順をハニカム構造に適用しています。

この研究では、動的方法と静的方法の両方を使用して、空間的に変化する構造の柔軟性を特定する方法を調査します。動的手法は、共振周波数情報を使用して構造の弾性パラメーターを特定するための新しい次元削減ベイジアンアプローチです。静的手法は、Marzouk と Najm によるフレームワークの修正版を使用して、たわみ観測に基づいて剛性場を再構築する Uribe らによる研究と同様のスキームに従います 40。

各手法の比較可能性とそれぞれの利点についての洞察を提供するために、動的手法と静的手法の両方で同じセットアップ、つまり空間的に変化する構造の柔軟性を備えた片持ち梁を使用します。固有周波数は動的手法内での柔軟性の特定の開始点をマークし、静的荷重に関連付けられたたわみは静的手法のデータとして機能します。次に、各方法について、未知の構造的柔軟性を持つ片持ち梁の有限要素法モデルに対してベイズ更新が実行されます。これは、片持ち梁に沿ったガウスランダム場のサンプルと見なされます。切り詰められた KL 展開は、この空間的に変化する柔軟性を表しており、その結果、ランダムな次元が減少した記述が得られます。ベイジアン推論設定により、動的アプローチと静的アプローチの間で解の不確実性を比較できます。

この文書は次のように構成されています。「方法」では、ランダムフィールドと逆問題、および動的アプローチと静的アプローチの間で共有されるベイズ推論セットアップを紹介します。「手順の適用」では、動的カンチレバービームモデルと静的カンチレバービームモデルの両方を逆問題に統合する方法について説明し、数値結果を「結果と考察」で示します。「結論」での結論と今後の研究の見通しに続いて、オンライン付録 S1 で追加情報を提供します。

この研究では、平均値を中心とした材料特性の空間的にランダムな変動を考慮します。連結共分散と KL 展開による表現は、ベイズの定理と並んで「予備概念」でカバーされています。「手順」では、カンチレバービームに関連するパラメータ化と測定誤差モデルを指定することによって、逆問題の定式化とベイジアン更新への逆問題の統合を扱います。

二次ランダム場は、その平均値とともに共分散関数によって完全に特徴付けられます。共分散カーネル \(Cov(t, t')\) は、場の領域、つまり有界区間 [0, L] 内の 2 点 \(t, t'\) の座標の関数です。この研究では、KL 展開を使用できるように、連続、対称、正の半定値カーネルを考慮します。

いくつかの関数群を共分散関数として使用できます。文献17から等方性指数カーネルを採用します。これはユークリッド距離 r と長さスケールパラメーター l の関数です。

ここで、 \(\sigma ^2\) は分散です18。これが選択されるのは、対応する数値実装の検証を容易にする、接続された固有値問題に対する解析的解決策が存在するためです。

KL 展開は、ランダムフィールドの平均 \(\mu (t)\) を考慮し、その共分散関数を分解することによってランダムフィールドを表します。この方法では、ランダム場の表現に決定論的空間関数とランダム係数 \(\xi _i\) を利用します。 s 加数の後の KL 展開を切り捨てると、次のような有限ランダム空間次元 42 を持つ場の近似が得られます。

ここで、 \(\lambda _i\) は固有値、 \(\varphi _i(t)\) は対応する共分散演算子の固有関数です42。サンプルパスまたはランダムフィールドの実現を取得するには、そのパラメータ化 \(\varvec{\xi }\) のサンプルを描画する必要があります。

考慮された材料パラメータが正規分布ではなく対数正規に従っている場合、生成されたサンプルは単純にべき乗される可能性があります。ただし、非ガウスランダム場への KL 展開の一般化は単純ではありません。部分的には、これはランダム係数間に相関関係が誘発されることが原因です。閉じた形式の変換がすぐに利用できない場合は、全次元の多変量正規分布が解決策となる可能性があります。ガウス誤差関数を使用して [0, 1] に変換した後、所望の任意の分布の逆累積分布関数を適用できます。結果として得られる周辺分布は、規定の分布に従い、初期相関構造に固有の領域にわたってサンプルの滑らかさを保持します (Vořechovský43 を参照)。

上記は対象となる量を説明したもので、現在は \(\varvec{\theta }\) として宣言されています。以下では、モデル、データ、事前知識を使用して関心量を推定する方法であるベイズ推論を紹介します。ベイジアン推論アプローチは、対象となる量と観測データの可能性に関する事前知識とともに不確実性を考慮しながら、逆問題を解決しようとします。基本的に、その結果である事後結果は、新しいデータが未知の量に関する私たちの信念をどのように変えるかを反映します。

確率の対数を使用して、小さな数の乗算から発生する計算上の問題を回避し、証拠である正規化定数を無視すると、ベイズの定理は次のようになります。

ここで、q は、あるデータ \(\varvec{d}\) が与えられた \(\varvec{\theta }\) の事後分布、l は、与えられたデータ \(\varvec{d}\) を観測する確率です。パラメータ化 \(\varvec{\theta }\) を使用したモデル、最後に、p は \(\varvec{\theta }\) 上の事前分布です。

読者は、逆問題の解法における 3 つの主要な問題、つまり解の存在、非一意性、および不安定性 (後者は Ill-Poseness とも呼ばれます) の扱いに関する文献を参照することになります。

片持ち梁の前方モデル (図 1 を参照) を考えてみましょう。

ここで、その構造的柔軟性 C(t) はビームドメイン [0, L] にわたる関数として考慮されます。演算子 \(\mathscr {G}\) は、この関数を出力 \(\varvec{d}\) に変換するために使用されます。静的偏向と固有周波数は、それぞれ静的解析と固有値解析の \(\varvec{d}\) を構成します。測定された出力

は測定ノイズ \(\varvec{\eta }\) の影響を受けます。逆問題を解くには、

実際には、KL パラメータと柔軟性場の平均で構成されるパラメータベクトル \(\varvec{\theta }\) に基づく柔軟性 C(t) の有限次元表現は次のようになります。

これにより、離散化された数値フォワードモデルが得られます。

さて、式。 (3) は \(\varvec{d}=\varvec{d}_{meas}\) と次の式で与えられる有限次元パラメータ化 \(\varvec{\theta }\) を使用して当面の問題に適用できます。方程式（7）。 KL 展開に必要な切り捨て次数は共分散に依存し、順モデル内で選択された空間離散化とは独立しています。 s を決定するには、切り捨てられた KL 拡張でカバーされる分散と完全拡張でカバーされる分散の比率を、推奨されるしきい値比 45 と比較する必要があります。通常、s は 20 未満であり、支配方程式の空間離散化よりも大幅に小さくなります。空間離散化から KL 係数の数へのこの次元の削減は、一部のマルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) アルゴリズムの効率にとって非常に重要です。さらに、gPC31 などのサロゲートモデルメソッドの使用が可能になります。

測定ノイズモデルを指定すると、カスタム尤度によりデータコンポーネントの信号対ノイズ比を柔軟に調整できます。この測定誤差モデルは、次元 \(\kappa\) の測定ベクトル \(\varvec{d}_{meas}\) が独立したノイズ成分によって摂動されることを前提としています。

対応する分散 \(\sigma ^2_j\) を使用します。ここで、試料内の複数の周波数または位置でのスカラー値測定と 1 回の測定実行の場合、可能性は次のようになります。

は、その成分の限界尤度の積になります。ベクトル値の測定と繰り返しの測定では、式 (1) の修正が必要になります。 (10)。

尤度、前方モデル、そのパラメータ化、および後者の事前密度の付与に関する固定の選択肢を使用すると、式 (1) の右側は次のようになります。 (3)は評価できる。ただし、事後確率密度関数の閉じた形式の解は、共役を伴う特殊な場合にのみ使用できます。これには事後からのサンプリングが必要ですが、これはマルコフ連鎖モンテカルロ (MCMC) アルゴリズムを使用して実現できます。この研究では、Neal46 によって定式化された単一変数スライスサンプリング法を採用しています。これは各パラメータに個別に適用されますが、他のパラメータは固定されています。

このセクションでは、「方法」で説明した方法の適用について説明します。具体的には、「片持ち梁モデル」では使用した片持ち梁モデルを紹介し、「固有値解析」ではシステムの固有値解析について説明し、「静的解析」ではシステムの静的解析について説明します。これらの順モデルについて説明した後、「モーダル解析による固有振動数測定によるたわみ性同定」ではモーダルデータに基づく逆問題の解法手順を、「静的解析によるたわみ測定によるたわみ性同定」ではたわみデータが与えられた場合の手順を詳しく説明します。

図 1 に示すティモシェンコの片持ち梁モデルを考えてみましょう。境界は左側でクランプされ、右側は自由になっています。梁は長さ L、面積 \(A = g\cdot h\) の長方形の断面を示し、断面の幅と高さはそれぞれ g と h で表されます。断面 2 次モーメントは \(I = gh^3/12\) として計算され、長方形断面のせん断補正係数 \(k_s\) は \(k_s = 5/6\) となります。ビームの材料は、フックの法則を考慮しながら、ヤング率 E とせん断弾性率 G によって特徴付けられます。

この図は、調査した片持ち梁モデルの側面図とそのプロファイルおよび座標系を示しています。長方形のプロファイルは幅 g と高さ h を示します。ビーム長はLです。ここでビーム座標をt、偏向座標をwとします。

この問題は、SfePy Python ライブラリ 47 を介して有限要素法で実装されます。たわみ w、角度 \(\psi\)、および対応する重み関数の離散化は、各要素で定義された \(2^\mathrm {{nd}}\) 次の多項式を使用して実行されます。

空間的に変化する弾性率 E をモデル化するには、ビーム座標 t 上でランダムに変化すると仮定します。弾性係数の逆数、つまり弾性柔軟性 \(C = 1/E\) は、ガウスランダム場の実現であると仮定されます。ここで、標準偏差は平均値の一部です。ランダムな柔軟性の共分散関数は、式 1 で定義されているように、ドメイン \(t\in [0,L]\) と任意に選択された相関長 \(l=L/5\) を持つ指数カーネルで定義されます。 (1)を選択します。共分散関数は有限要素メッシュのノードで評価され、図 2 の粗い離散化の例に示すように、区分的に一定の材料特性が得られます。

このグラフは、片持ち梁の数値モデル内の 10 個の離散位置における梁座標上の任意に選択された剛性分布を示しています。離散化は、説明のために意図的に粗く選択されています。剛性は要素ではなくノードに割り当てられるため、境界での剛性は内部要素に割り当てられる剛性と比較して半分の幅になります。

領域は 100 個の有限要素で離散化されます。これにより、共分散関数を評価するためのノードが 201 個になります。結果として得られる \(201\times 201\) 共分散行列は、基準柔軟性ベクトルの合成に使用されます。この共分散行列のコレスキー分解 \(\varvec{LL}^\text{T}\) により、参照の柔軟性が実現されます20。この代替方法は、KL 拡張よりも高次元ではあるもののより正確であるため、逆犯罪を軽減するために KL 拡張の代わりに参照モデルとして選択されます。所定の平均曲げ柔軟性 \(\mu _{C, true}\) とコレスキー分解から得られる下三角行列 \(\varvec{L}\) を使用すると、柔軟性フィールドは次のようになります。

ここで、 \(\varvec{\xi }\) は、相関のない標準ガウス乱数のベクトルです。 \(\varvec{\xi }\) を実現すると、柔軟性の参照サンプルが得られます。

一方では、「片持ち梁モデル」で説明した片持ち梁のモーダル解析を検討します。ここで、システムの固有値問題を解くことで得られるシステム \(f_1, f_2, \dots ,f_{\kappa }\) の最初の \(\kappa\) 固有周波数が応答ベクトルを構成します。具体的には、片持ち梁の基準柔軟性 \(\varvec{C}_{true}\) が、接続された基準固有周波数につながります。次に、独立したガウス確率変数のベクトルをこれらの固有周波数に重ね合わせて、測定ノイズをエミュレートします。

一方、\(t=L\) で静的荷重 F を受けたときの「片持ち梁モデル」で説明した片持ち梁を考えます。ここで、\(\kappa\) 等間隔の静的たわみ測定値が応答ベクトルを構成します。参照柔軟性 \(\varvec{C}_{true}\) を片持ち梁モデルに適用した後、接続された参照たわみを計算します。測定ノイズをシミュレートするには、静的偏向に、独立した同一分布のガウス確率変数を重ね合わせます。

次に、基準柔軟性ベクトルを使用して、カンチレバービームの最初の 10 個のシミュレートされた固有周波数のノイズの多い測定を使用します。次に、これらのノイズを含む固有周波数測定値から、ビーム内のすべての位置の基準柔軟性が推定されます。参照の柔軟性は、反転手順のコンテキストでは不明であることに注意してください。

図 4 は推論手順のフローチャートを示しており、次の段落で詳しく説明します。

「方法」で説明した方法を使用して未知の参照柔軟性を再構築するには、柔軟性の平均が一定、つまり定常であるという強い仮定と、柔軟性の共分散の強い仮定が必要です。柔軟性のパラメーター化の比較可能性を維持するために、参照モデルで使用したのと同じ共分散、相関長 \(l=L/5\) と指数 \(\gamma =2\) を持つ指数共分散カーネルを仮定します。これらの仮定は、パラメータ化されたカーネルファミリと、KL パラメータを使用したそれらのパラメータ化の推論によって緩和される可能性があります48。再構成 FE モデルは、101 ノードでの柔軟性の空間評価につながる 50 の二次要素を示します。参照モデルと比較してこのより粗い離散化は、逆犯罪を回避するために再び選択されます49。

ランダムな次元を減らすために、式 (1) からの KL 展開を使用して未知のランダム場を離散化します。 (2) \(s=6\) 項に切り捨てられます。平均が一定であると仮定すると、未知数の離散ベクトル \(\varvec{\theta }\) を構成する \(s+1\) 個の未知の確率変数、つまり平均値と s KL パラメータが得られます。 Huang et al.45 に従って、この構成はランダムな柔軟性の分散の \(\alpha =98\%\) を説明します。

KL 拡張を使用することにより、柔軟性に先立って基本的にガウスプロセスを適用します。この事前確率内で、柔軟性平均は次のように分布します。

そして、KL パラメータには通常の事前分布が与えられます。

これらの事前分布は、最適化における正則化と同様に解釈できます。柔軟性平均について選択された正規事前分布は弱い仮定を表しますが、KL 係数については事前分布が柔軟性分散についての仮定をエンコードします。

実ノイズ標準偏差は、尤度標準偏差の理想的な選択を示します。これは、不正確な測定値が誤って正確であると解釈されず、逆に、より正確な測定値が過度にノイズが多いと想定されず、情報の損失につながることがないためです。実際には、誤差またはノイズの特性は不明ですが、繰り返しの測定から得られる統計情報から推定できます。使用される合成測定ノイズの標準偏差よりも高い標準偏差で尤度を定義するため、測定の精度が過小評価されます。数値は、結果を再現するために必要なすべてのパラメータとともにオンライン付録 S1 にまとめられています。式のベクトル値測定の尤度関数は次のようになります。 (10) は、各固有周波数が 1 回だけ測定され、繰り返し測定されないことを意味します。

測定尤度の標準偏差は周波数の関数として表されます。グラフは、対応する固有周波数の数に対する測定尤度標準偏差 \(\sigma _j\) の選択された二次増加を示します。この重み付けにより、最初のいくつかの固有周波数の影響が強調されます。固有周波数が高いほど尤度の高い標準偏差は、周波数が増加するにつれて測定精度が低下するという予想を反映しています。

尤度の標準偏差は、対応する固有周波数の数に応じて二次関数的に増加します (図 3 を参照)。したがって、低い固有周波数の一致がより重要視されます。

スライスサンプリングアルゴリズムは、式 1 の事後からサンプル \(\varvec{\theta }^{(i)}\) を生成します。 (3)。異なる初期値を持つ複数のチェーンは、使用されるサンプル数 U からバーンインサンプルを除外するとともに、サンプリングされたマルコフチェーンの初期値の影響を軽減するのに役立ちます。事後サンプルで適用された KL 展開を評価すると、対応するサンプルが生成されます。事後ランダムフィールド。

ノイズの多い固有周波数を与えて参照ランダム場を再構築し、ベイジアン推論を使用して参照共分散、事前確率、および測定ノイズ特性を仮定するための一般的な手順。上部は、基準柔軟性からの基準固有周波数の計算を参照しています。これらの基準周波数のノイズの多い観測を考慮して、下部で詳述する手順の目的は、基準の柔軟性を推定することです。ここで、破線は、チェーンの各ステップで計算する必要がある推論の部分を示しています。

柔軟性の期待値とともに、

各位置 \(t_j\) について、 \(C^{(u)}(t_j)\) の値の 95% を含む信頼区間を計算します。最後に、基準の柔軟性に関する二乗平均平方根誤差 (RMSPE) は次のように取得されます。

静的たわみデータを使用した構造の柔軟性の特定は、「モーダル解析による固有振動数測定を使用した柔軟性の特定」で説明されているのと同じ一般的な手順に従います。このセクションでは、2 つの手順に共通する手順を繰り返すことはせず、代わりに相違点を強調します。

ここでは、基準柔軟性を備えたカンチレバー梁のシミュレートされた静的たわみのノイズを含む測定値がデータを構成します。これら 10 個の等間隔の静的たわみを使用して、未知の参照柔軟性 \(\varvec{C}_{true}\) を推定します。

手順図 (図 4 を参照) でモーダルを静的解析に、固有周波数を静的偏向にそれぞれ置き換えると、静的解析を使用した逆変換手順が得られます。

モーダル解析による逆変換とは対照的に、静的解析では定尤標準偏差を選択します。可能性は式に従います。 (10) ここで、静的たわみは各等間隔位置で 1 回測定されます。

このセクションでは、本研究の結果を紹介します。「モーダル解析」と「静的解析」では、ビーム座標にわたる解の信頼区間を考慮し、「信号対雑音比と柔軟性の相関長の影響」では、信号対雑音比と柔軟性の影響を調査します。相関長。

図５は、ランダムな柔軟性を実現するための手順の結果を示す。ここで、一点鎖線は、先験的に未知の参照の柔軟性を示しています。図 5a は動的方法を使用した結果を示し、図 5b は比較のために静的偏向ベースの方法の結果を示しています。提案されているベイジアンアプローチでは、\(\theta _i\) のサンプルの連鎖が得られることに注意してください。これらのサンプルは、平均と分散に加えて、事後分布のより高い統計モーメントを推定するために使用できます。結果の分析を平均と分散に限定すると、任意の位置での事後分布の歪みが無視されます。これは、図 5 で非対称な信頼区間を通じて確認できます。さらに、これらのモーメントはビームの長さにわたって一定ではないため、この手順では非定常事後ランダム場が生成されることに注意してください。

以下の段落では、解釈が一般的な意味で適用できるように、合計 100 回の柔軟性の実現に基づいてビーム座標 t に沿った信頼区間のプロパティを解釈します。

図は、特定の参照の柔軟性に関する推論ワークフローの結果を示しています。左のグラフは固有値解析に対応し、右の図は静的解析に接続されています。それぞれの一点鎖線は基準柔軟性を示し、それぞれの実線は推定された事後平均を表します。信頼区間の高さが低いことは、それぞれの位置での推論結果の確実性が高いことを示します。

固有周波数ベースのアプローチと選択された尤度構造を使用すると、信頼区間のサイズはビーム座標 t に沿ってほぼ一定になります。したがって、最初の 10 個の固有周波数の現在の選択により、すべての空間位置について同程度の量の柔軟性情報が得られます。

負の柔軟性は負の二乗固有周波数につながるため、固有周波数ベースのモデルを使用すると、柔軟性の非物理的兆候を回避するのが簡単になります。この場合、対応する解決候補の尤度は単純にゼロに設定されるため、ここでは柔軟性の純粋に正の推定値が得られます。

静的たわみベースのアプローチでは、クランプからの距離が離れるにつれて信頼区間が増加します。これは、ビーム内の曲げモーメントがビーム軸に沿って直線的に変化し、最大絶対値がクランプ時にあるという直観と一致しています。たわみに対する柔軟性の変動の影響は曲げモーメントに直接依存するため、これらの変動はクランプされた境界付近で最大の影響を及ぼします。逆に、たわみには右側よりも左側の柔軟性に関する情報が比例して多く含まれています。これにより、領域の左部分から右部分への誤差の伝播が促進され、最終的にビームの左部分では狭い信頼区間と、右部分では広い信頼区間が生じます。

静的偏向ベースのモデルでは、再構成内のガウスランダム場のサポート \(C(t_j)\in \mathbb {R}\) により、柔軟性の符号にいくつかの問題が発生する可能性があります。ここで、推定は、ビームの右側のいくつかの位置で正である柔軟性という物理的制限に違反しています。この理由は、ビームの特性と想定される測定ノイズの組み合わせです。片持ち梁は右側に小さな曲げモーメントを示し、この側に小さな曲率が生じます。たわみ測定をシミュレートするには、合成ガウスノイズをたわみに追加します。基準曲率が低い右側の領域では、ノイズの曲率がシミュレーション測定内の全体の曲率を支配する可能性があります。曲げモーメントは柔軟性と曲率に関係があるため、再構成により基本的にビームの曲率が推定されます。これは、合成測定ノイズから生じる曲率成分が推定された柔軟性に伝播し、その結果、場合によっては柔軟性に負の値が生じる理由を説明します。

この研究は、材料パラメータを特定するための 2 つの非破壊方法の調査と比較に焦点を当てています。動的および静的手法の有効性を研究するために、逆問題の構成の戦略的バリエーションを実証します。具体的には、柔軟性のより大きな相関長とより大きな信号対雑音比の両方が反転品質を改善すると予想し、実際にこれらの期待された結果が得られました。

逆問題構成の変更によって影響を受けるメソッドのパフォーマンスの比較。左側のグラフは信号対雑音比の変化の影響を示し、右側のグラフは柔軟性相関長の影響を示しています。

ソリューションの品質に対する信号対ノイズ比 (SNR) の影響は、ノイズ標準偏差の体系的な変化を使用して調査されます (図 6a を参照)。代表的な結果を得るために、信号対雑音比ごとの基準柔軟性の 100 個の固有の実現に対して説明された手順が実行されます。式で説明されている誤差。次に、(15) は 100 個の実現にわたって平均化されます。誤差は、選択した SNR スケールに対して非線形に減少します。信号対雑音比が比較的低いと、誤差にプラトーが生じます。曲線がねじれた後、測定ノイズが大きくなり、誤差の動作が平坦化します。静的たわみ測定を使用したアプローチを採用すると、RMSPE が一貫して低くなり、共振周波数法の誤差収束がより高くなることが観察されました。実際には、複数回の繰り返し測定を平均することで、より正確な測定値を取得できることに注意してください。

図 6b に示す柔軟性相関長の変化は、予想された結果を示しています。誤差は、グランドトゥルース相関長が増加するにつれて非線形に減少します。静的手法と動的手法の間の誤差ギャップは、相関長が長くなるにつれて狭くなります。小さな相関長領域における比較的大きな誤差は、未知の関数の複雑さがより高いことに起因します。これは、推論手順が通過する必要があるパラメータ空間のますます複雑化に対応します。逆に、無限に長い相関長は一定の柔軟性に対応します。これは最も単純なケースを表しており、ここでは誤差が最小になることが予想されます。

静的解析に関して、この研究では荷重と試験片への荷重の適用における不確実性は考慮されていません。これらの不確実性は、システムを通じてたわみに伝播します。さらに、たわみの測定には測定誤差が生じる可能性があります。マイクロスケールアプリケーションの測定ノイズの課題は、光学系の物理的制限に関連しています50。この論文で研究したようなマクロスケールのアプリケーションは、一方ではデジタル画像相関などの手法に依存しています51。一方、彼らは光学式のアクティブまたはパッシブマーカーシステムを使用しており、通常はカメラのセットアップが必要です52。ここでは、カバーされるエリアとカメラの距離の間で妥協点を見つける必要があり、この 2 つは視野角によって決まります。 Maletsky ら 53 は、カメラの距離と SNR の間の非線形関係を報告し、一般的な設定で全体の SNR が 45 dB であることを発見しました。実際、動的応答測定セットアップでは 60 dB を超える SNR がすでに達成可能です 54。この動的手法の測定精度が静的手法の測定精度を上回っていることを考慮すると、モーダル解析には不利な光が当てられています。

この研究では、同一に構成されクランプされた片持ち梁のモーダル解析と静的解析が考慮されており、境界条件の不確実性は考慮されていません。ただし、実験モーダル解析は通常、他の取り付け条件よりも実際に正確に再現できる自由-自由境界条件を使用して実行されます55。ここで、この方法の利点は、静的解析との比較可能性と引き換えにあります。

Debruyne et al.39 は、測定品質が優れていない場合、モデル更新手順にとって実験モード解析の有用性は疑わしいことを発見しました。彼らの結論は、決定論的に既知のモデリングエラーを伴う設定に由来する我々の結果によって確認されています。 Mehrez et al.38 は、データポイントの数が問題の構成に適していることが証明されていると述べています。私たちの結果は、SNR と誤差を関係に設定することでこれを補完します。これにより、単一測定の SNR を考慮した誤差許容値を達成するために必要なデータポイント数の推定が可能になります。信頼領域は平均値の \(\およそ \!30 \%\) を補います。私たちの共鳴周波数法は、高い信号対雑音比と L に近いまたは L を超えるグラウンドトゥルースランダムフィールド相関長のこの推定精度と一致します。これは、一方ではこの研究で使用された勾配に依存しないサンプリングアルゴリズムによるものであり、一方、Mehrez et al.38 の研究では、グローバルデータではなくローカルデータが使用されているため、この方法に提供される情報の違いが影響します。

空間的に変化する片持ち梁の構造的柔軟性を特定するために、確率的次元を低減した新しいベイジアン共振周波数法を開発します。これは、動的データを使用して局所的なマクロスケールの材料特性を決定する既存の非破壊手法と比較して、大きな利点を示します。従来の方法のように局所的な情報に依存しないため、標本への視線がなくても動作できます。これは、傾斜機能材料の出現という状況において特に価値があります。後者は、幾何学的に複雑なアセンブリ内の材料特性を空間的に変化させることを促進します。ここで、私たちの方法により、アンダーカットが存在する場合でも非破壊検査が可能になります。

SNR と柔軟性相関長に関する非線形誤差特性の結果が得られます。 SNR の影響を考慮すると、信号対雑音比が低い場合に誤差の飽和が発生することがわかります。これらの結果は、静的線形弾性荷重がかかったカンチレバーにベイジアン手順を適用して得られた結果と関連して設定されています。

結論として、同一のノイズと柔軟性の相関長特性を使用すると、次のようになります。

静的なたわみに基づく反転により、絶対誤差が小さくなります。

信頼区間は、静的アプローチのクランプからの距離が離れるにつれて広がります。

動的アプローチを使用した場合、信頼区間の高さはビームに沿って一定に保たれます。

さらに、一般的に次のように結論付けます。

柔軟性相関長が大きいほど、再構成が改善されます。

信号対雑音比が高くなると、推定誤差が減少します。

実際には、方法の選択では、数値モデル内の実際の境界条件の再現性、特に実験設定によって達成可能な信号対雑音比を慎重に考慮する必要があります。

現在、材料特性の空間的ランダム性を説明する信頼できるデータは利用できず、Matérn 共分散モデルまたは等方性指数関数カーネルのような特殊なケースがフォールバックとして使用されます (48 を参照)。一般的な材料クラス、関連する製造プロセス、異質性を導入するエンジニアリングアプリケーションについて、そのようなデータから共分散を体系的に特定できれば、現在必要とされている多くの仮定が不要になります。今後の研究では、これらの特定された共分散モデルとそのそれぞれのパラメーターが私たちの方法の有効性に及ぼす影響を研究する必要があります。これには、たとえば加算または乗算を使用した、ベースカーネルからの複合共分散カーネルの構築が含まれる場合があります (Hofmann et al.56 を参照)。この特性は、空間次元全体でカーネルを結合したり、とりわけ異方性の不均一材料をモデル化するために使用できます。

この論文では、空間座標に依存する単一の対象量に対する逆問題の解法を示します。実際には、複数のパラメータが関連する可能性があります。等方性材料の場合、質量密度だけでなくせん断弾性率またはポアソン比も関連する可能性があります。異方性材料の場合、材料を完全に特徴付けるには、弾性特性の空間成分がさらに必要になります。これにより、逆問題が複雑になります。ただし、追加情報を考慮することで、これらの影響を軽減できることが期待できます。一部の材料クラスでは、弾性特性の空間成分は線形相関します。特に木材の場合、木の成長方向のヤング率は、年輪に直交する半径方向のヤング率と直線的に相関します。多くの場合、ここでは線形相関のピアソン係数が \(r=0.5\) を超えます。予備調査では、相互相関の知識を組み込むことが一律に有益ではないことが示されています。逆に言えば、この方法が成功するかどうかは、相互相関の振幅と、事後分布からのサンプリングに使用されるアルゴリズムなどに依存します。今後の研究では、この研究ギャップに対処し、研究者のガイドラインとなる包括的な結果を生み出す必要があります。

現在の研究中に生成された生データは、合理的な要求に応じて責任著者から入手できます。

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カール＝アレクサンダー・ホッペ、マーティン・GT・クロンターラー、キアン・セパヴァンド、シュテフェン・マールブルク

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